¿Dónde empieza el espacio?

a que altura empieza el espacio

Sentaos y poneos cómodos, porque hoy viene una entrada estelar. El ingeniero que llevo dentro sale a la luz para intentar responder una pregunta que quién no se ha hecho alguna vez… ¿A qué altitud empieza el espacio?

Empezaremos explicando lo que se conoce como Línea de Karman, y que hoy en día se considera el límite del espacio. Y a continuación, intentaremos calcular por nosotros mismos dónde se sitúa, con ecuaciones, números y esas cosas que nos gusta a los más frikis.

Así como curiosidad, este artículo lo escribí hace más de cinco años, casi en los comienzos del blog. Pero por algún motivo que no recuerdo, el borrador cayó en el olvido y jamás llegué a publicarlo.

La barrera del espacio: la línea de Karman

En realidad no se puede definir una altura exacta a la que empieza el espacio porque no existe un punto concreto en el que «se termine» la atmósfera. De hecho, la atmósfera se va atenuando poco a poco con la altitud. Así pues, lo que se suele hacer es fijar una altitud arbitraria y considerar como espacio todo lo que está por encima.

Por ejemplo, la NASA determinó en los años 60 (así porque sí) que el espacio empezaba a los 80 km de altitud. Por lo tanto, todo los vuelos del X-15 que sobrepasaron esa barrera fueron calificados como vuelos espaciales, y sus pilotos recibieron el título de astronautas.

El avión X-15 aterrizando.

Otro criterio que se utiliza más hoy en día es la línea de Karman, situada a 100km de altitud de acuerdo con las estimaciones de nuestro amigo Theodore von Karman. En este caso, el límite no es arbitrario y tiene un sentido físico. La definición de dicha línea es como sigue:

Por encima de la línea de Karman, un vehículo aeroespacial necesita para obtener sustentación una velocidad superior a la que necesita para entrar en órbita a dicha altitud.

La línea de Karman explicada de forma sencilla

Hay que comprender que un avión necesita un mínimo de velocidad para generar sustentación y poder mantenerse en el aire. Pero cuando aumenta la altitud, la densidad del aire disminuye, y esto afecta negativamente a la capacidad de generar sustentación.

Por lo tanto, en cuanto más alto vuele el avión, más rápido tiene que moverse para mantenerse en el aire.

De hecho, llega un punto en el que el avión necesita una velocidad tan elevada que sería suficiente para entrar en órbita alrededor de la Tierra.

En otras palabras, llega un momento que el avión no necesita sustentación y se mantiene gracias a la fuerza centrífuga por girar alrededor del planeta.

la linea de karman
Theodore von Karman

Resumiendo, la línea de Karman es el punto en el que la velocidad que necesita el avión para volar es la misma que necesita para estar en órbita.

Von Karman estimó que dicha altura se sitúa a unos 100 km de altitud.

¿Cómo lo hizo? Vamos a intentar repetir sus pasos, así que hay que incluir algunas (sencillas) ecuaciones.

La línea de Karman en una sencilla imagen

Para que te hagas una idea de lo alto que son 100 km, aquí abajo tienes una imagen que lo explica muy bien. Es un poco grande, así que está escondida en este menú. Haz clic en el botón para desplegarla:

HAZ CLIC AQUI PARA VER LA IMAGEN

Cómo calcular la línea de Karman: un balance de fuerzas

Advertencia: en los siguientes párrafos hay ecuaciones, números, símbolos y demás parafernalia ingenieril y/o friki.

Para resolver el problema, partimos de que la línea de Karman es el punto en el que se igualan la sustentación del avión con la fuerza centrífuga.

Vamos entonces a plantear dos ecuaciones:

  • La ecuación de la fuerza de sustentación.
  • La ecuación de la fuerza centrífuga orbital.

Después, las juntaremos (ya que en la línea de Karman ambas fuerzas deben ser iguales) y las resolveremos para obtener la altitud.

La sustentación del avión

La sustentación es la fuerza que le permite al avión mantenerse en el aire. Dicha fuerza se expresa con la letra L por su nombre en inglés (lift), y se calcula usando una sencilla fórmula:

\displaystyle L = \frac{1}{2} \rho S V^2 C_L [1]

En esta fórmula:

  • ρ es la densidad del aire a la altitud de vuelo
  • S es la superficie alar del avión
  • V es la velocidad de vuelo
  • CL es lo que se conoce como coeficiente de sustentación

A grandes rasgos, se puede decir que SCL son características del avión, mientras que ρ y V dependen de las condiciones de vuelo (altitud y velocidad).

La fuerza de la gravedad

Un objeto que gira alrededor de la Tierra está sometido a una fuerza centrífuga, y al mismo tiempo está sometido a la gravedad. Se dice que el objeto está en órbita cuando ambas fuerzas se equilibran, y por tanto, se mantiene a una distancia constante con respecto a la Tierra. 

La estación espacial MIR en órbita sobre la Tierra.

Para una altitud de órbita determinada, solo existe una velocidad que permite mantener dicha órbita, y se calcula mediante la siguiente fórmula:

\displaystyle V_{orb} = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R+h}} [2]

En esta ocasión:

  • G es la constante de gravitación universal, que vale 6,67·10-11 N m2/kg2
  • M es la masa de la Tierra, 5,972·1024kg (aunque parezca mentira, alguien ya ha «pesado» la Tierra)
  • R es el radio de la Tierra, vale unos 6 371km
  • h es la altitud sobre la superficie de la Tierra a la que queremos estar en órbita

Aquí cabe mencionar que estamos hablando de una órbita circular, no elíptica.

El punto de equilibrio

Bueno, espero que aún no te hayas perdido, porque aquí empezamos a complicar las cosas.

Hemos dicho que la línea de Karman es el punto en el que la velocidad que necesita el avión para volar es la misma que la que necesita para estar en órbita. Por lo tanto, la velocidad que aparece en ambas ecuaciones tiene que ser la misma. De este modo, cogemos lo que vale Vorb y lo sustituimos por la V de la primera ecuación. Nos queda:

\displaystyle L =\frac{1}{2}\rho S C_L\frac{G \cdot M}{R+h} [3]

Además, hay que tener en cuenta que cuando un avión vuela en línea recta la sustentación tiene que ser igual al peso del avión, y el peso es igual a la masa del avión (m) multiplicada por la aceleración de la gravedad (g):

\displaystyle L = mg

Si sustituimos esto en la ecuación número [3], lo que nos queda es:

\displaystyle mg =\frac{1}{2}\rho S C_L\frac{G \cdot M}{R+h} [4]

Para encontrar la altitud de la línea de Karman hay que resolver esta última ecuación con respecto a h, que es la altitud de vuelo (o de órbita). Cualquiera que sepa algo de matemáticas podría despejar rápidamente la h de la ecuación y decir que ha resuelto el problema, pero la realidad no es tan sencilla. Veamos qué pasa cuando nos ponemos a pensar un poco más detenidamente en el resto de variables.

Un cohete de Space-X de camino al espacio.

Intentando resolver el problema punto a punto

La aceleración de la gravedad

Esa inocente g que aparece en la fórmula esconde malas noticias para nosotros. En el instituto nos enseñaban que g=9,8 m/s². Pero atención, nos estamos alejando mucho de la Tierra (casi 100 km), y hay que tener en cuenta que el valor de g disminuye. Así pues, no podemos decir que g sea constante, sino que la tenemos que calcular usando la fórmula:

\displaystyle g=\frac{G\cdot M}{\left( R+h\right) ^2} [5]

Y aquí están las malas noticias. La altitud de vuelo h, que era nuestra incógnita, aparece también aquí. Es decir, para calcular h necesitábamos saber g, y ahora resulta que para saber g tenemos que saber cuánto vale h. ¿Cómo arreglamos este malentendido?

Lo que hay que hacer es sustituir lo que vale g en la ecuación [4] para obtener la verdadera ecuación que hay que resolver:

\displaystyle m\frac{G\cdot M}{\left( R+h\right) ^2} =\frac{1}{2}\rho S C_L\frac{G \cdot M}{R+h} [6]

Ahora podemos simplificar esta ecuación realizando algunas operaciones matemáticas. Al final lo que se obtiene es algo así:

\displaystyle \frac{m}{R+h} =\frac{1}{2}\rho S C_L [7]

Si lo trabajamos un poco más matemáticamente hablando, obtenemos la expresión de la altitud que «separa» la Tierra del espacio exterior:

\displaystyle h = \frac{2 \cdot m}{\rho S C_L} -R [8]

Características del avión

Ahora hay que elegir el avión que queremos que vuele al borde del espacio. Una vez elegido, en Wikipedia puedes encontrar fácilmente su masa (m) y su superficie alar (S).

Pero, ¿y qué pasa con el coeficiente de sustentación (CL)?

Esto es muy problemático porque depende de infinidad de factores. En un mismo avión te puedes encontrar que para unas condiciones de vuelo valga 0,2 y para otras valga 2,5. Y no sólo eso, sino que la velocidad a la que va a volar nuestro avión va a ser extremadamente alta, estará en régimen hipersónico (número de Mach mayor que 5), y a esas velocidades el CL puede valer cualquier cosa.

Por lo tanto, lo más simple es hacer una hipótesis y decir que el CL es igual a 1. No será muy preciso, pero no se me ocurre nada mejor.

La densidad del aire

Uno podría ir a Wikipedia y se encontraría con que la densidad del aire vale ρ=1,225 kg/m³. Pero ojo, esto es a nivel del mar. Cuando nos vayamos a 100 km de altitud, ρ va a valer algo muchísimo más pequeño. Así pues, tenemos que echar mano de un modelo atmosférico, que no es más que una formulita que predice el valor de la densidad del aire a la altitud que quieras.

Aquí se observa cómo la densidad del aire disminuye drásticamente con la altitud.

¿Cuál es el problema? Que no hay modelos atmosféricos (o al menos yo no los he encontrado) que predigan las propiedades del aire a altitudes tan grandes. El que más se acerca a la línea de Karman es el 1976 US Standrard Atmosphere, válido hasta 86km de altitud. A partir de esa altura es muy difícil encontrar un modelo atmosférico, dado que las propiedades del aire y de sus propias moléculas cambian radicalmente.

En nuestro ejercicio, utilizaremos la extensión del modelo de 1976 desarrollado por la NASA para altitudes superiores a 86 km.

Ah, no nos descuidemos, aquí es donde nos podemos quedar bloqueados (otra vez). Vamos a calcular la densidad del aire para una altitud determinada, pero la altitud es la incógnita del problema. Ocurre lo mismo que con la aceleración de la gravedad, pero de forma mucho más compleja. De nuevo, una pescadilla que se muerde la cola.

Antes hemos podido solucionarlo porque la ecuación para calcular g era sencilla. En cambio, las ecuaciones de los modelos atmosféricos tienen un aspecto horrible y para resolverlas vamos a tener que pasar por algún programa informático capaz de resolver ecuaciones complejas.

En resumen…

Hemos visto que no es difícil llegar a plantear las ecuaciones básicas para estimar la altura a la que empieza el espacio. El problema viene cuando intentamos resolver dichas ecuaciones, porque tenemos que empezar a hacer hipótesis muy fuertes con las que podríamos equivocarnos. El coeficiente de sustentación nos lo hemos tenido que inventar, y la densidad del aire la tendremos que calcular usando algún modelo atmosférico, lo que va a complicar mucho las ecuaciones.

De todas formas, vamos a intentar llegar hasta el fondo del asunto. Si ya has leído hasta aquí, sigue un poco más, que ya queda poco.

Nuestro propio cálculo de la Línea de Karman

Vamos a resolver el problema usando un programita matemático de Wolfram Alpha. En el programa he introducido la ecuación número [8] y la ecuación del modelo atmosférico mencionado. Ahora hay que determinar las características del avión, lo que tampoco resulta fácil. ¿Qué clase de avión podría volar a 100 km de altitud?

He seleccionado tres aeronaves de características muy diferentes para ver cómo afecta al resultado obtenido: el X-15, el Space Shuttle y el B-747.

También podría haber elegido un coche para el estudio.

El X-15 superó la barrera de los 100 km de altitud en dos de sus vuelos, aunque era una trayectoria «parabólica», y aquí se trata de hacer un cálculo de vuelo horizontal. El Space Shuttle… bueno, podríamos suponer que en algún momento de su reentrada desde el espacio alcanza esa altitud y velocidad. En cuanto al 747… No sé cómo demonios podría subir tan alto, pero lo consideraremos para poder comparar tres aviones muy distintos.

Los resultados están en la siguiente tabla. He incluido las características de los aviones, la altura h que se obtiene como resultado, y la velocidad necesaria para volar a esa altura:

  X-15 Space Shuttle B-747
m (kg) 10 000 100 000 220 000
S (m2) 18.6 250 510
CL 1 1 1
h (km)
65,1 67,2 66,7
V (km/h) 28 321 28 317 28 317

Análisis de los resultados

Y aquí se ve cómo los resultados que obtenemos no son tan buenos como me hubiera gustado que fueran. Nos hemos quedado bastante lejos de los 100 km de altitud, pero sorprendentemente las tres altitudes calculadas son muy similares entre sí (alrededor de 66 km).

Intuyo que el principal problema reside en el cálculo de la densidad del aire. Más arriba hemos visto cómo dicha variable caía brutalmente a partir de 20 km de altitud, pero es que entre 60 y 100 km sigue cayendo a una velocidad vertiginosa. En la imagen de aquí abajo vemos, en escala logarítmica, que la densidad se divide por 10 cada 20 km. Dicho de otro modo, a 100 km de altitud la densidad es aproximadamente 230 veces más pequeña que a 60 km.

Densidad del aire según nuestro modelo atmosférico (hasta 86 km de altitud). Atención, escala logarítmica.

Lo que quiero decir es que es extremadamente difícil de compensar esta bajada de densidad: habría que multiplicar por 200 la superficie alar de cada avión (o el coeficiente de sustentación) con tal de poder pasar de 60 a 100 km.

Por otro lado, von Karman realizó la mayor parte de su trabajo a mediados del siglo XX, y falleció en 1963. El modelo que hemos utilizado hoy se publicó en 1976, y las investigaciones realizadas sobre las propiedades de la atmósfera por encima de 80 km son incluso más recientes.

De esta manera, es probable que él utilizase un valor de densidad de aire muy diferente al nuestro. Pero tampoco hay que olvidar que durante el cálculo hemos hecho otras tantas hipótesis que podrían alterar asimismo los resultados.

Conclusión

Hemos partido de ecuaciones muy sencillas para plantear el problema de dónde empieza el espacio. No obstante, a medida que hemos ido profundizando en ellas, nos hemos dado cuenta de la gran incertidumbre que contienen algunas de ellas.

Para salir del atolladero, hemos hecho hipótesis y tirado de modelos matemáticos. Hemos repetido el cálculo para tres aviones distintos, para comparar su posible influencia, y el resultado ha sido parecido, sobre los 66 km de altitud. Esperaba quedarme más cerca de los 100 km, pero los números no han salido.

Not great, not terrible - Album on Imgur

En cualquier caso, el propio von Karman reconoció que su cálculo del filo del espacio no eran 100 km exactos, pero esa era una cifra redonda muy fácil de recordar.

Por supuesto, cualquier corrección o idea para mejorar el artículo es bienvenida.

¡Ah! Y si eres de los que ha leído hasta aquí, ¡mi más sentida enhorabuena!

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